n的n分之一次方的极限等于1。将n换为x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]，洛必达法则=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。
证明：n^(1/n)的极限为1记n^(1/n)=1+a(n)， 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2， 所以0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)对任意ε>0， 取N=1+ 2/ε^2， 当n>N时|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2)<ε所以lim(n^(1/n))=1。“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
解：分享一种解法。用斯特林公式[当n→∞时，n!=√(2πn)(n/e)^n]替换，原式=lim(n→∞)(2^n)/(n!)=lim(n→∞)[1/√(2πn)](2e/n)^n=0。供参考。
