以下n^(1/n)表示n的1/n次方，即n的n次算术根。
解:当n>1时，显然
n^(1/n)-1>0。
令n^(1/n)-1=t，则t>0，由二项式定理得
n=(1+t)^n
=C(n，0)t^0+C(n，1)t^1+C(n，2)t^2+。
。。。 。。+C(n，n)t^n
>C(n，2)t^2
=n(n-1)t^2/2。
因此
2>(n-1)t^2
从而
t0
n^(1/n)-1<√2/√(n-1)
lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0
由数列极限的迫敛性得
lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0
即
lim(n→+∞)n^(1/n)=1。
