n的n次方跟n的阶乘，n的阶乘更大。
证明：
当n=1时：
2^1=2，1！=1。
∴2^n＞n！。
当n≥2时：
n！/2^n=（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x（n/2）。
∵（2/2）＝1，（3/2）＞1，（4/2）＞1（n/2）＞1。
∴（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x……（n/2）＞1。
∴n！＞2^n。
当n=1时，n！＜2^n当n≥2时，n！＞2^n。
定义的必要性
由于正整数的阶乘是一种连乘运算，而0与任何实数相乘的结果都是0。所以用正整数阶乘的定义是无法推广或推导出0！=1的。即在连乘意义下无法解释“0！=1”。给“0！”下定义只是为了相关公式的表述及运算更方便。
Xn=(n!/n^n)^(1/n) 两边取对数， lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n)) 上式可看成 f(x)=lnx 在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1] 区间作n等分，每个小区间长1/n。
因此当n趋于无穷时，lnXn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。 lnx在[0，1]上的定积分为-1 所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1。 由于 Xn=e^(lnXn)， 于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.
