抛物线：y^2=2px（但愿你说的抛物线是这种形式的，而不是y=ax^2+bx+c）与直线y=kx+b交于两点AB(A在下，B在上)，C是AB的中点，P在抛物线上且PC平行于x轴。证明：直线与抛物线形成的曲边形APB面积，是三角形APB面积的三分之四。
证明：
连接AP，BP。取AP中点D，BP中点E。点Q，R都在抛物线上，且DQ，ER都平行于x轴。
（
注：在开始正式的证明之前先说明两件事。
第一：为便于理解，说明一下整体思路。
因为，大的曲边形APB面积，可分为3块，曲边形AQP、曲边形BRP、三角形ABP。
做出三角形AQP和三角BRP后，发现两块小的曲边形也各分成了三块。
我们记三角形ABP的面积为S1，三角形AQP和三角BRP的面积和记为S2。
现在大的曲边形APB面积，就变成S1+S2+4块更小的曲变形。
4块更小的曲变形，又可以分出4个三角形和8个曲变形。即三角形面积和为S3。
以此类推，由极限思想可以发现：大的曲边形APB面积=S1+S2+S3+S4+...
因此如果我们可以证明，对于任何正整数i。S(i)=4S(i+1)
那么就可以证明，大的曲边形APB面积=S1(1+1/4+1/4^2+...)=S1·1/(1-1/4)=4/3 ·S1。
所以，我所需要证明的就是S1=4S2。
（S2=4S3等等，因为剖分的也是一样的，就同理了，也就不用再证了）
第二：三角形面积的求法。
在解析几何中求三角形面积的方法很多，但我在这道题只用一种方法
这里以三角形ABP面积举例，在后面的证明中就不再证明了，将会直接用公式：
三角形ABP面积=1/2·（X(C)-X(P)）(Y(B)-Y(A))。
这是因为：
三角形ABP面积=ACP面积+BCP面积
=1/2CP·(Y(C)-Y(A))+1/2CP·(Y(B)-Y(C)
=1/2CP·(Y(B)-Y(A))
=1/2·（X(C)-X(P)）(Y(B)-Y(A))。
好了，废话都说完了，下面是证明，计算量较大，做好心理准备。
其实有了上面这些思路，后面也能自计算出来，不看也罢。
）
设A(x1，y1)B(x2，y2)
则它们是方程组：
y=kx+b
y^2=2px
的解。
消去y： (kx+b)^2=2px
展开整理： k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0
故 x1+x2=(2p-2kb)/k^2
| x1x2=b^2/k^2
所以
(x2-x1)^2 =(x1+x2)^2-4x1x2 =4(p^2-2pkb)/(k^4)
y1+y2 =kx1+b+kx2+b =k(x1+x2)+2b =2p/k
(y2-y1)^2 =[(kx2+b)-(kx1+b)]^2 =k^2(x2-x1)^2 =4(p^2-2pkb)/(k^2)
抛物线面积公式推导过程
抛物线弓形面积公式等于：
以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的4／3
即：抛物线弓形面积＝S＋1／4＊S＋1／16＊S＋1／64＊S＋……＝4／3＊S
记f（x）＝ax＾2＋bx＋c＝0的两根为p，q令F（x）＝（a／3）x＾3＋（b／2）＊x＾2＋c＊x则面积S＝［F（q）－F（p）］［］表示绝对值。
抛物线面积弧长公式面积Area＝2ab／3，弧长ArclengthABC。
＝√（b＾2＋16a＾2）／2＋b＾2／8aln（（4a＋√（b＾2＋16a＾2））／b）。
抛物线参数方程
抛物线y^2=2px(p>0)的参数方程为:
x＝2pt＾2
y＝2pt
其中参数p的几何意义，是抛物线的焦点F（p／2，0）到准线x＝－p／2的距离，称为抛物线的焦参数。
扩展资料
抛物线顶点坐标公式
y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标公式是（－b／2a，（4ac－b²）／4a）
y＝ax²＋bx的顶点坐标是（－b／2a，－b²／4a）
抛物线标准方程
右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）[p为焦准距（p>0）]。
特点在抛物线y＾2＝2px中，焦点是（p／2，0），准线的方程是x＝－p／2，离心率e＝1，范围：x≥0。
在抛物线y＾2＝－2px中，焦点是（－p／2，0），准线的方程是x＝p／2，离心率e＝1，范围：x≤0。
在抛物线x＾2＝2py中，焦点是（0，p／2），准线的方程是y＝－p／2，离心率e＝1，范围：y≥0。
在抛物线x＾2＝－2py中，焦点是（0，－p／2），准线的方程是y＝p／2，离心率e＝1，范围：y≤0
