圆锥曲线中点弦性质推导方法几乎一样。可采用点差法:把弦端点用坐标设出来，分别代入双曲线方程相减，把含字母除到方程一边就会分到中点弦性质:弦的斜率与弦中点与坐标原点连线斜率之积为a方分之b方。
中点弦公式：py-αx=pβ-α2
中点弦
对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。
二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理：
蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．
引理：设两条不同的二次曲线
S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
椭圆中点弦公式：
x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α，β)的中点弦所在直线方程为：
αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
双曲线中点弦公式
双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α，β)的中点弦所在直线方程为：
αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
椭圆的常见问题以及解法
椭圆通径长定理，指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止
那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。
设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
弦上两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点为(x0，y0)，弦所在直线的斜率为k
则k=(y1-y2)/(x1-x2)，x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2
将(x1，y1)，(x2，y2)，代入双曲线方程
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 （1）
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 （2）
（1）-（2）得
(x1^2-x2^2)/a^2=(y1^2-y2^2)/b^2
[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2=[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2
得到k=(b^2/a^2)*(x0/y0)
