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自然数倒数的平方和公式推导

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自然数倒数的平方和公式推导

预备知识:1+2+……+n = n*(n+1)/2,(n+1)^3 = n^3+3*n^2+3*n+1

推导过程:

(n+1)^3-n^3 = 3*n^2+3*n+1

n^3-(n-1)^3 = 3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

………

………

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

以上n条式子相加得

(n+1)^3-1 = 3*(1^2+2^2+……+n^2)+3*(1+2+……+n)+1*n

=3*(1^2+2^2+……+n^2)+3*n*(n+1)/2+n

解得:1^2+2^2+……+n^2 = ((n+1)^3-1-3*n*(n+1)/2-n)/3=n(n+1)(2n+1)/6