消防应急管理局归国家应急管理部管理。
虽然消防救援局是属于国家应急管理部管，但是地方的应急管理局对消防总队，支队，大队，站只有指导建设的权利，没有直接管理权利和指挥权。地方市（区）消防支队属于该省（直辖市）的总队管理。
消防属于行政编制，在应急管理部设消防局，到省，市县，分别是消防总队，消防救援支队，大队。内部机构有所调整。消防员不是公务员。消防是行政单位。
你说的其实这是两个部门、机构，一个是应急管理局，一个是消防救援机构。应急管理局属于我们通常说的一级局，是一个政府的直属部门，不隶属于任何部门，直属政府管辖。而消防救援机构是应急管理部门的下属机构，属于二级单位，隶属于应急管理部门。
消防应急管理局直属于国家应急管理部，这个称呼是在2018年开始变更的应急管理部的前身就是中国人民武装警察部队消防局，属于武警部队和地方公安双重管辖，由于适应国情和军队变革的需要2018年进行正编，独立成为现在应急管理部
